\documentclass[UTF8]{ctexart}
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\usetikzlibrary{datavisualization}

\title{模式识别与机器学习第一次作业(统计判别)}
\author{黎吉国&201618013229046&0705班}
\begin{document}
\maketitle
\section{第一题}
\noindent设一下模式类别具有正态概率密度函数：\\
$\omega_1:\{(0\ 0)^T,(2\ 0)^T,(2\ 2)^T,(0\ 2)^T\}$ \\
$\omega_2:\{(4\ 4)^T,(6\ 4)^T,(6\ 6)^T,(4\ 6)^T\}$ \\
(1)设$P(\omega_1)=P(\omega_2)=1/2$，求这两类模式之间的贝叶斯判别界面的方程式。\\
(2)绘出判别界面。\\
解：\\
(1)正态分布的均值和方差可由其样本估计得到：
\begin{center}
  $m=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i$ \,
  $C=E \{(x-m)(x-m)^T\}$\\
\end{center}
由以上公式可以得到$\omega_1$的均值和方差为:
\begin{center}
$m_1=(1\ 1)^T$
\begin{equation*}
C_1=\left(
\begin{array}{cc}
1&0 \\
0&1
\end{array}
\right)
\end{equation*}\\
\end{center}
$\omega_2$的均值和方差为：
\begin{center}
$m_2=(5\ 5)^T$
\begin{equation*}
C_2=\left(
\begin{array}{cc}
1&0 \\
0&1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\end{center}
发现$C_1=C_2$，这种情况下两类满足正态分布的模式的判别界面方程为：
  \[d(x_1)-d(x_2)=P(\omega_1)-P(\omega_2)+(m_1-m_2)^TC^{-1}x-\frac{1}{2}m_1^TC^{-1}m_1+\frac{1}{2}m_2^TC^{-1}m_2\]
代入可得：
\[x_1+x_2=6\]
(2)画出判别界面如下：\\
\begin{tikzpicture}[baseline]
\datavisualization [school book axes, visualize as smooth line/.list={dx},
style sheet=strong colors,
style sheet=vary dashing,
dx={label in legend={text={x+y=6}}}]
data[set=dx] {
x, y
-1, 7
7, -1
};
\datavisualization [school book axes, visualize as scatter/.list={num1,num2},style sheet=strong colors]
data[set=num1] {
x, y
0, 0
2, 0
0, 2
2, 2
}
data[set=num2] {
x, y
4, 4
4, 6
6, 4
6, 6
};
\end{tikzpicture}

\section{第二题}
\noindent编写两类正态分布模式的贝叶斯分类程序。\\
见附件
\end{document}
